Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件: ①当x∈R时,其最小值为0，

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件: ①当x∈R时,其最小值为0，且f（x-1）=f（-x-1）成立； ②当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立. （1）求f（1）的值; （2）求f（x）的解析式 （3）求最大的实数m（m>1），使得存在t∈R，只要当x∈[1，m]时，就有f（x+t）≤x成立 各位网友快去解答利用啊亲们！

Answer 1

f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），
当x∈R时,其最小值为0，
∴b^2-4ac=0,①
由f（x-1）=f（-x-1）得-b/(2a)=-1,b=2a,
代入①，a=c,
∴f(x)=a(x^2+2x+1)=a(x+1)^2,
(1)当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立,
∴1≤f(1)≤1,f(1)=1.
(2)f(1)=4a=1,a=1/4,
∴f(x)=(1/4)(x+1)^2.
f(x)-(2|x-1|+1)
={(1/4)(x+1)^2-2x+1=(1/4)(x^2-6x+5)=(1/4)(x-1)(x-5)≤0(1≤x<5);
{(1/4)(x+1)^2-3+2x=(1/4)(x^2+10x-11)=(1/4)(x-1)(x+11)<0(0<x<1).
易知x≤f(x),∴f(x)满足条件②。
(3)t∈R+,x∈[1,m]时x+t可能属于(1,5),f(x+t)≤x<x+t≤f(x+t),（由②）矛盾，本题无解.

追问

实在是太感谢你了！

追答

别客气！