Question

设事件ABC两两独立,P(A)=P(B)=P(C)=a,且A交B交C为空集,证明1，P(ABC)小于等于3/4,2，a小于等于1/2

Answer 1

解题过程如下图：

空集是指不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。空集不是无；它是内部没有元素的集合。可以将集合想象成一个装有元素的袋子，而空集的袋子是空的，但袋子本身确实是存在的。

相关性质：

对任意集合 A，空集是 A 的子集：∀A：Ø ⊆ A。

对任意集合 A，空集和 A 的并集为 A：∀A：A ∪ Ø = A。

对任意非空集合 A，空集是 A的真子集：∀A，若A≠Ø，则Ø 真包含于 A。

对任意集合 A，空集和 A 的交集为空集：∀A，A ∩ Ø = Ø。

对任意集合 A，空集和 A 的笛卡尔积为空集：∀A，A × Ø = Ø。

Answer 2

(1)P(A)=P(B)=P(C)=a两两独立，A∩B∩C为空集
P(A∩B)=P(A)P(B)=a^2
同理P(B∩C)=a^2,P(A∩C)=a^2
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(B∩C)-P(C∩A)+P(A∩B∩C)=3a-3*a^2
3a-3*a^2<=3/4,最大值在a=1/2时取到。
(2)P(A)>=P(A∩B)+P(A∩C)-P(A∩B∩C)
从而a>=2a^2
a<=1/2