Question

计算曲线积分(yz)^2dx+(xy)^2dz+(xz)^2dy其中L为依照参数t增大方向的闭合曲线x=cost,=cos2t,z=cos3t

Answer 1

方法一：格林公式对圆周补线段AB：y=0，x：-2--->2，这样c+AB就是封闭曲线了∮(c+AB)
xy²dy-x²ydx=∫∫(y²+x²)dxdy
积分区域为：x²+y²=2，上半圆用极坐标=∫[0--->π]dθ∫[0--->√2]
r³dr=π*(1/4)r⁴
|[0--->√2]=π下面计算AB上的积分∫(AB)
xy^2dy-x^2ydx=∫[-2---->2]
0dx=0因此原积分=π-0=π方法二：将c写为参数方程得：x=√2cost，y=√2sint，t：0---->π代入原积分：∫c
xy^2dy-x^2ydx=∫[0--->π]
(4cos²tsin²t+4cos²tsin²t)dt=2∫[0--->π]
sin²2tdt=∫[0--->π]
(1-cos4t)dt=t-1/4sin4t
|[0--->π]=π

Answer 2

方法一：格林公式对圆周补线段AB：y=0，x：-2--->2，这样c+AB就是封闭曲线了∮(c+AB)
xy²dy-x²ydx=∫∫(y²+x²)dxdy
积分区域为：x²+y²=2，上半圆用极坐标=∫[0--->π]dθ∫[0--->√2]
r³dr=π*(1/4)r⁴
|[0--->√2]=π下面计算AB上的积分∫(AB)
xy^2dy-x^2ydx=∫[-2---->2]
0dx=0因此原积分=π-0=π方法二：将c写为参数方程得：x=√2cost，y=√2sint，t：0---->π代入原积分：∫c
xy^2dy-x^2ydx=∫[0--->π]
(4cos²tsin²t+4cos²tsin²t)dt=2∫[0--->π]
sin²2tdt=∫[0--->π]
(1-cos4t)dt=t-1/4sin4t
|[0--->π]=π

Answer 3

方法一：格林公式对圆周补线段AB：y=0，x：-2--->2，这样c+AB就是封闭曲线了∮(c+AB)
xy²dy-x²ydx=∫∫(y²+x²)dxdy
积分区域为：x²+y²=2，上半圆用极坐标=∫[0--->π]dθ∫[0--->√2]
r³dr=π*(1/4)r⁴
|[0--->√2]=π下面计算AB上的积分∫(AB)
xy^2dy-x^2ydx=∫[-2---->2]
0dx=0因此原积分=π-0=π方法二：将c写为参数方程得：x=√2cost，y=√2sint，t：0---->π代入原积分：∫c
xy^2dy-x^2ydx=∫[0--->π]
(4cos²tsin²t+4cos²tsin²t)dt=2∫[0--->π]
sin²2tdt=∫[0--->π]
(1-cos4t)dt=t-1/4sin4t
|[0--->π]=π