Question

一道数学几何题，请高手指教。

三角形ABC中,AD垂直BC,D为垂足,AC垂直BE，E为垂足，M为AB的中点，连接ME,MD,ED.(1)求证：三角形MED是等腰三角形。（2）求证;角EMD等于2角DAC.

Answer 1

证明：（1）∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB=∠BEA=90°，
∴ABDE四点共圆，且知AB为此圆的直径
又已知M为AB的中点，所以M为圆心，
∴MD=ME=半径，即证⊿MDE是等腰三角形。

（2）由（1）知ABDE四点共圆，
∠DME、∠DAE分别为DE弧上的圆心角和圆周角，
即得∠DME=2∠DAE=2∠DAC.

Answer 2

(1)、∵ME是直角三角形AEB斜边上的中线，∴ME=AB/2；

∵MD是直角三角形ADB斜边上的中线，∴MD=AB/2=ME,故⊿MED是等腰三角形。

(2)、记⊿ABC的三个内角分别是A、B、C。

⊿AME中AM=ME，∠BAC=∠AEM=A,外角∠BME=2A；

⊿AMD中AM=MD，∠MAD=∠MDA=90°-∠ABC=90°-B,外角∠BMD=2(90°-B),

∴∠EMD=∠BME-∠BMD=2A-2(90°-B)=2(A+B-90°)=2(180°-C-90°)=2(90°-C)=2∠DAC.。证毕。

又证：由（1）可知MA=ME=MD=MB,∴A、E、D、B在以M为圆心的圆周上，∵∠EMD是ED弧上的圆心角，∠DAC是ED弧上的圆周角，∴∠EMD=2∠DAC.。

追问

只用全等、轴对称、勾股定理解得出来吗？

追答

似乎不能。
最好是用四点共圆。