Question

设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2n+1．（I）求证：（an2n...

设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2n+1． （I）求证：（an2n）是等差数列，并求出数列的{an}通项公式； （II）数列{bn}满足bn=log2ann+1求使不等式（1+1b1）（1+1b3）…（1+1b2n-1）≥m•b2n+1对任意正整数n都成立的最大实数m的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由Sn=2an-2n+1，得Sn-1=2an-1-2n（n≥2）．
两式相减，得an=2an-2an-1-2n，即an-2an-1=2n （n≥2），（2分）
∴an2n-an-12n-1=1，故数列{an2n}是公差为1的等差数列，（4分）
又S1=2a1-22．则a1=4，∴an2n=2+(n-1)=n+1，
故an=（n+1）+2n．（6分）
（Ⅱ）∵bn=log2ann+1=log2n2=n，（7分）
不等式（1+1b1）（1+1b3）…（1+1b2n-1）≥m•b2n+1，
即（1+1）（1+13）…（1+12n-1）≥m•2n+1恒成立，
也即m≤(1+1)(1+13)…(1+12n-1)2n+1对任意正整数n都成立．（8分）
令f(n)=(1+1)(1+13)…(1+12n-1)2n+1，知f(n+1)=(1+1)(1+13)…(1+12n-1)(1+12n+1)2n+3，
∵f(n+1)f(n)=2n+22n+1•2n+3=4n2+8n+44n2+8n+3＞1，
∴当n∈N*时，f（n）单调递增，（10分）
∴f（n）≥f（1）=233，则m≤233，故实数m的最大值为233．（12分）