Question

已知向量a=（√3sinx,cosx+sinx）,b=（2cosx,cosx-sinx ）,函数f

已知向量a=（√3sinx,cosx+sinx）,b=（2cosx,cosx-sinx ）,函数f（x）=a·b，x∈R。 1.求函数f(x)的最小正周期 2.设三角形ABC内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且c=√3，f(C)=1,求三角形ABC面积的最大值

Answer 1

1.f(x)=2√3sinxcosx+cos^2 x-sin^2 x=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+pi/6)
最小正周期=2pi/2=pi
2.f(C)=1,0<C<pi,C=pi/3,c=√3,即已知一角和对边求面积的最大值
应用如下定理：如果三角形ABC的BC边长不变，∠A等于已知角（即大小不变），则A点的轨迹为以BC为弦，所含圆周角等于已知角的圆弧。（实际上是关于BC对称的两条圆弧，对于本问题，由于对称性，可以只关心其中一条圆弧）。
显然，当A沿圆弧移动到BC的垂直平线上时，BC上的高取得最大值，从而三角形ABC的面积也取得最大值。
在这道题里面，容易求得c上的高的最大值为3，则面积的最大值为3√3/2
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