Question

若|x|≤π/4，且f（x）=cos²x-acosx的最小值为-1/4求a的值。 求过程。谢谢

Answer 1

您好，由最值定义cosx在π/4处取值，使得f(x)最小，代入得1/2-√2a/2=1/4，代入可得a=3√2/4

Answer 2

|x|≤π/4时
cosx∈[√2/2,1]
令t=cosx
则t∈[√2/2,1]
令g（t）=t²-at
开口向上
对称轴t=a/2
分类讨论：
1） a/2≤√2/2
即
a≤√2时
最小值为g（√2/2）=-1/4
解得a=3/4*√2
≤√2
满足
2）√2/2≤a/2≤1
即
√2≤a≤2时
最小值为g（a/2）=-1/4
解得a=±1
不满足√2≤a≤2
3）a/2≥1
即a≥2时
最小值为g（1）=-1/4
解得a=5/4
也不满足
综上
答案为3/4*√2

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这是分类讨论的方法
其实还可以用分离变量的方法，（即t²-at≥-1/4对任意t∈[√2/2,1]恒成立
并且等号可以取到
）更简单一些，你可以自己尝试~