Question

已知直线l:3x-y-1=0及点A(4,1),B(0,4),C(2,0),在L上求一点P试求AP+CP的绝对值最小；在L上求一点Q，使AQ-BQ

Answer 1

这是必会的题。
作点C关于直线L的对称点D，连接AD交直线L于P点，则满足AP+CP的绝对值最小。（当然也可以做A点关于直线的对称点F,连CF交直线于P点）。为什么这样就最小呢？因为PD=PC,假如在直线上另取一M点，连MD和MA.则构成三角形ACM.两边之和大于第三边，即MD+MA>AD,即MD+MA>PC+PA.会求C点坐标吧，就是设D(x,y).CD中点坐标到直线L上，一个方程；CD直线斜率与直线L斜率乘积为-1（因为两直线垂直），另一佧方程。联立两方程就可以解出D点坐标了。接下来，写出直线AD方程，联立直线DA和直线L，得到P点坐标。
第二个问题，做B点关于直线L的对称点E，连AE交直线
L于Q点。AQ-BQ就绝对值最大。
自己计算吧。你写式子计算时，不用说原因，就是不用证明，只要计算过程就行了。

Answer 2

解：（1）p到a（4，1）和b（0，4）的距离之差最大
显然a、b位于直线l两侧
作b关于直线l的对称点b'，连接b'a
则b'a
所在直线与直线l交点即为p
此时，|pa-pb|的差值最大，最大值就是b'a
设b点关于l对称点b’（a．b），
则（b-4）×3=-（a-0），3a-（b+4）-2=0，
得a=3，b=3
ab的直线方程为2x+y-9=0解方程2x+y-9=0
与3x-y-1=0可得（2、5）是距离之差最大的点．
（2）p到a（4，1）和c（3，4）的距离之和最小
显然，a、b位于直线l同侧
作点c关于直线l对称点c'，连接c'a
则c'a与直线l的交点就是点p
此时，pa+pb之和最小，最小值为c'a
设c关于l的对称点为c′，求出c′的坐标为（
3
5
，
24
5
）．
∴ac′所在直线的方程为19x+17y-93=0．
ac′和l交点的坐标为p(
11
7
，
26
7
)．
∴点p的坐标为p(
11
7
，
26
7
)