Question

曲面梯形绕y轴旋转所成图形体积公式 为何是如图所示的?怎么推导? 。。。

Answer 1

选取闭区间[x, x+dx]之间的曲线之下的小曲边梯形作为微元，这一小段曲边梯形绕y轴旋转形成的体积微元dV可以这样来计算：把曲边看做是直线，曲边梯形可看做是宽为dx、高为f(x)的矩形（算体积这样可以，要是算表面积不能看做矩形，得看做是直边的梯形），于是旋转出来的体积微元可以看做是：底面为——内外半径分别为x和x+dx的同心圆环、高为f(x)的柱形体积。因此这个柱形体积微元dV当然等于小环形底面积dS乘以高f(x)，而小环形底面积dS因为圆环的宽度（即内外半径之差）为dx，是一个无穷小量，因此可以把小圆环看做是长为内环周长、宽为dx的矩形（要是这个你不理解的话，你可以想一下把小圆环按半径剖分成无穷多个小的扇形圆环——即圆心角极小的两条半径与圆环内外半径所围成的这一极小的曲边四边形——，每一个小的扇形圆环可以看做一个长为扇形弧长，宽为dx的小矩形，把所有这些小矩形依次拼接起来就是长为圆环内周长，宽为dx的矩形），圆环内环周长当然是2πx，因此小圆环面积dS=2πx dx，于是体积微元dV=dS f(x)=2πx f(x) dx，对x积分，即得V=2π∫ x f(x) dx。（因公示不好打，省略了积分上下限a、b）

Answer 2

不 大部分是你把你家不符合

追问

大师果然厉害，原来是让我把类圆柱剖开，看成长方体计算，大师风范，名不虚传啊!