简谐振动里那个基本公式x=Acos(ωt+ψ)是怎么推出来的？
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微分方程d^2x/dt^2=-ω^2x的通解。
简谐振动回复力+牛顿第二定律
F=ma=-kx
稍微做下推导和变量代换就得到上述微分方程。
令dx/dt=y
则dy/dt=-ω^2x
上式除下式(由一阶微分的不变性）得
dx/dy=-y/(ω^2x)
-ω^2xdx=ydy
两边积分并移项得
y^2/ω^2+x^2=A^2
(A为代定常数）
y(t)=-Aωsin(b(t)),x(t)=Acos(b(t))(这里负号什么的都是无所谓的，最后利用下余弦函数的偶函数性质和cos(x+pi)=-cosx调整下相位就行，）
y=dx/dt=-Asin(b(t))db/dt
因此db/dt=ω
b(t)=ωt+ψ
x=Acos(ωt+ψ)
简谐振动回复力+牛顿第二定律
F=ma=-kx
稍微做下推导和变量代换就得到上述微分方程。
令dx/dt=y
则dy/dt=-ω^2x
上式除下式(由一阶微分的不变性）得
dx/dy=-y/(ω^2x)
-ω^2xdx=ydy
两边积分并移项得
y^2/ω^2+x^2=A^2
(A为代定常数）
y(t)=-Aωsin(b(t)),x(t)=Acos(b(t))(这里负号什么的都是无所谓的，最后利用下余弦函数的偶函数性质和cos(x+pi)=-cosx调整下相位就行，）
y=dx/dt=-Asin(b(t))db/dt
因此db/dt=ω
b(t)=ωt+ψ
x=Acos(ωt+ψ)
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2024-10-13 广告
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