Question

高等数学微分方程求解

y'=(4x+y+1)^2 如何判断是什么类型的微分方程并求解？求高手详细回答 感激不尽1！！

Answer 1

对于微分方程的类型，我们可以先根据方程中未知函数导数的最高阶数来确定是几阶的，而后依据未知函数及其各阶导数的最高幂次确定是否线性。若它们都是一次的，则为线性的，否则是非线性的。对于线性方程又可以分为齐次和非齐次，而对于非线性的，我们可以进一步根据其特点分为可分离变量方程、齐次方程等等。
该方程中y的导数一阶的，而y的最高幂次为2次所以第一步判断是一阶非线性微分方程，进一步，设代换u=4x+y+1，则可化为u'=u^2+4为可分离变量方程。所以，严格说，它是可化为可分离变量的一阶非线性微分方程。
解法：令u=4x+y+1,
则u'=4+y',
原方程化为：u'=u^2+4,，分离变量得： du/(u^2+4)=dx
两边积分得：(1/2)arctan(u/2)=x+C‘，即，arctan(u/2)=2x+C，u=2tan(2x+C)，
将u=4x+y+1代回，得
y=2tan(2x+C)-4x-1

Answer 2

拟线性一阶微分方程
看导数最高是一次
有y^2所以不是线性方程，但是y‘是线性的，所以是拟线性

令z=4x+y+1
z'=4+y'
y'=z'-4
原方程可写作
z'-4=z^2
z'=z^2+4
dz/(z^2+4)=dx
(1/2)arctan(z/2)=x+C
arctan[(4x+y+1)/2]=2x+C
(4x+y+1)/2=tan(2x+C)
y=2tan(2x+C)-4x-1

Answer 3

令u=4x+y+1,
所以y'=u'-4
元方程化为
u'-4=u^2
即u'=u^2+4
du/(u^2+4)=dx
d(u/2)/[(u/2)^2+1]=2dx
所以arctan(u/2)=2x+c
所以u/2=tan(2x+c)
u=2tan(2x+c)
得到
4x+y+1=2tan(2x+c)