Question

#芝麻开门#如图，已知平行四边形ABCD中AC,BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形

1 求证：四边形ABCD是菱形
2 若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形

Answer 1

（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形

证明：
（1）
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=OC
∵△ACE是等边三角形
∴EO⊥AC
∴BD⊥AC
∴四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
（2）
∵△ACE是等边三角形，O是AC中点
∴∠AEC=30°
∵∠AED=2∠EAD
∴∠EAD=15°
∴∠ADB=30°+15°=45°
同理可得∠CDB=45°
∴∠ADC=90°
∵四边形ABCD是菱形
∴四边形ABCD是正方形