Question

已知二次函数y1=x2-2x-3及一次函数y2=x+m．

（1）求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；
（2）将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你在图中画出这个新图象，并求出新图象与直线y2=x+m有三个不同公共点时m的值；
（3）当0≤x≤2时，函数y=y1+y2+（m-2）x+3的图象与x轴有两个不同公共点，求m的取值范围．

Answer 1

好多函数显示不了的，这是链接，你自己安装了数学函数插件然后就可以查看了，下面是 解：（1）画出函数y1=x2-2x-3的图象，利用它的图象可知：当x＜-1或x＞3时，y1＞0；当x=-1或x=3时，y1=0；当-1＜x＜3时，y1＜0．（2）根据（I）的结论，可得当x≤-1或x≥3时，|y1|=y1，于是函数y2=1/2（|y1|-y1）=1/2（y1-y1）=0当-1＜x＜3时，|y1|=-y1，于是函数y2=1/2（|y1|-y1）=1/2（-y1-y1）=-y1∴函数y2关于x的解析式为y2={0(x≤-1或x≥3)

-x2 2x 3(-2＜x＜3)（3）由题设条件，k≠0时，一次函数y=kx b的图象与函数y2的图象有三个交点，只需一次函数的图象与函数y2的图象在-1＜x＜3的范围内有两个交点，即方程组{y=kx b

y=-x2 2x 3(-1＜x＜3) 有两个不等的实数根消去y，得：x2 （k-2）x （b-3）=0．即只需二次函数y=x2 （k-2）x （b-3）的图象与x轴的两个交点在-1＜x＜3范围内．此时，应同时满足以下三个条件：（1）判别式△=（k-2）2-4（b-3）＞0．即b＜1/4(k-2)2 3（2）二次函数y=x2 （k-2）x （b-3）图象的对称轴为x=(k-2)/2满足-1＜-(k-2)/2＜3得-4＜k＜4．又k≠0，∴-4＜k＜0或0＜k＜4．（3）当x=-1与x=3时，y=x2 （k-2）x （b-3）的函数值均应大于0，即{(-1)2 (k-2)×(-1) (b-3)＞0
9 3(k-2) (b-3)＞0解得{b＞k

b＞-3k∴当k＞0时，有b＞k；当k＜0时，有b＞-3k．综上，由（1）（2）（3）知，一次函数y=kx b（k≠0）的图象与函数y2的图象有三个不同的交点时，应满足{-4＜k＜0

-3k＜b＜1/4(k-2)2 3或 {0＜k＜4 k＜b＜1/4(k-2)2 3 要草图吗？

Answer 2

解：（1）y1=x�0�5-2x-3
=(x-1)�0�5-4
当y1=x�0�5-2x-3与x轴相交时y=0
即x�0�5-2x-3=0：解得x1=3,x2=-1
所以顶点坐标为（1，-4） 与x轴的交点为（3，0）（-1,0）
（2）由题意得，将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图）所以新图像的解析式为y=(x-1)�0�5-4(x≤-1或x≥3) y=-(x-1)�0�5+4（-1≤x≤3）
因为y2=x+m的k>0,所以它的图像从左到右是上升的，当它与新图像有3个交点时它一定过（-1，0）把（-1，0）代入y2=x+m得-1+m=0 所以m=1
（3）因为0≤x≤2 所以y=-(x-1)�0�5+4+x+m+（m-2）x+3=-x�0�5+(m+1)x+6+m
因为它与x轴有两个不同公共点
所以△=(m+1)�0�5-4×（-1）×（6+m）>0 即（m+3）�0�5+16≥0
所以m为全体实数