Question

行列式与矩阵的初等变换！

Answer 1

行列式的初等变换？楼主的这个说法就是错误的，行列式只有利用性质化简这一说，矩阵才有使用初等变换解题这个说法。
使用行列式的性质化简：
1，把第二行的-1倍加到第一行；
|
x
x
x
|
|2x-1
2x-2
2x-3|=0
|3x-2
4x-3
4x-5|
2，分别把第一行的-2倍，-4倍加到第二，三行；
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x
x
x
|
|-1
-2
-3
|=0
|-x-2
-3
-5
|
3，提取x至行列式外；
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1
1
1
|
x|-1
-2
-3
|=0
|-x-2
-3
-5
|
4，利用性质把第一列除第一行以外的元素全部变为零(第一行加到第二行；第一行的二倍加到第三行，然后第一行的x倍加到第三行)；
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1
1
1
|
x|
0
-1
-2
|=0
|
0
x-1
x-3
|
5，展开行列式，解得方程：2x(x-1)(x-3)=0，故当x取0，1，3时行列式等于零

Answer 2

矩阵和线性映射没有太特殊的区别，初等变换是特殊的线性变换，行列式则是方阵的一种函数，这些没什么好多解释的，学过自然能明白。
初等变换和行列式的几条性质确实是有关系的，其间的桥梁就是行列式乘积定理，即|A||B|=|AB|。这一定理一般用行列式的性质来证明，但是反过来也可以帮助理解行列式的基本性质。
1.对于第一类初等变换L1(i,j)，其表示矩阵是一个排列阵，行列式为-1，由行列式乘积定理来看就是|L1(i,j)A|=-|A|，即交换行列式的两行则行列式的值乘-1。
2.对于第二类初等变换L2(i,c)，其表示矩阵是一个对角阵，行列式为c，这样|L2(i,c)A|=c|A|，即行列式的第i行乘c后行列式的值也乘c。
3.对于第二类初等变换L3(i,j,c)，其表示矩阵是一个三角阵I+c*e_i*e_j^T，行列式为1，所以|L3(i,j,c)A|=|A|，即行列式的一行乘一个常数后加到另一行上不改变行列式的值。
以上性质从初等变换的角度来看就是对矩阵A做初等变换L后得到的新矩阵LA的行列式|LA|可以从A的行列式|A|按某规则稍加改变得到。
对于列变换则可以把相应的初等矩阵右乘在矩阵上，也对应于一组行列式的性质。
需要注意的是，逻辑上一般是用行列式的性质去证明行列式乘积定理，上面的讲法只是用于理解。
至于行列式和三类初等变换，最初引进的目的大体上就是为了解线性方程组，楼上已有人讲了。