Question

在等边三角形ABC中,点D是AC的中点,F是BC的中点,以BD为边作等边三角形BDE,求证:AB=EF,且四边形AEBF为矩形

Answer 1

证明：
因为△ABC、△BDE是等边三角形
所以∠EBD=60，∠ABC=60
而AD是BC边上的中线
所以∠ABD=∠DBC=30，∠BDC=90（等边三角形任意边上的高、中线及对应角的角平分线三线合一）
所以∠EBA=∠ABD=∠DBC=30
所以∠EBC=90，即∠EBF=90
因为点D是AC的中点,F是BC的中点
所以BF=FC=AD=DC
在△EBF和△ABD 中
EB=BD
∠EBF=∠BDC=90
BF=DC
所以△EBF≌△BDC（SAS）
所以EF=BC，EB=BD（全等三角形的对应边相等）
而AB=BC
所以AB=EF
因为F是BC的中点
所以AF⊥BC（等边三角形任意边上的高、中线及对应角的角平分线三线合一）
已证∠EBC=90
所以AF//BE
而AF=BD（等边三角形的三边上的高相等）
已证EB=BD
所以AF=EB
所以四边形AEBF是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）
又AF⊥BC，即AF⊥BF
所以四边形AEBF是矩形（一个角是直角的平行四边形是矩形）。