Question

设随机变量(X,Y)的联合概率密度分别如下,f(x,y)=ke^-(3x+4y)，x,y>0；f(x,y)=0,其他

设随机变量(X,Y)的联合概率密度分别如下,f(x,y)=ke^-(3x+4y)，x,y>0；f(x,y)=0,其他
求：P（0<x<1,0<y<2）

谢谢！
K=12

Answer 1

解答如图：

 ∫∫ f(x,y)dxdy=1

所以∫(0,∞)∫(0,∞) k*e^-(3x+4y) dxdy

=k*∫(0,∞) dx ∫(0,∞)e^-(3x+4y)dy

=k*∫(0,∞) dx (-1/4)*e^(-3x-4y) (0,∞)

=k/4*∫(0,∞) e^(-3x) dx

=k/4*(-1/3)*e^(-3x) (0,∞)

=k/12

所以k=12。

E(XY)解法

E(XY)=∫∫ xy*f(x,y)dxdy

=12∫(0,∞) x*e^(-3x) dx ∫(0,∞) y*e^(-4y) dy

这里 ∫(0,∞) x*e^(-3x) dx

=(-1/3)∫(0,∞) x*d(e^(-3x) )

=(-1/3)*x*e^(-3x) (0,∞)+1/3*∫(0,∞) e^(-3x) dx

=1/3*(-1/3)*e^(-3x) (0,∞) =1/9

同样 ∫(0,∞) y*e^(-4y) dy=1/16

所以E(XY) =12∫(0,∞) x*e^(-3x) dx ∫(0,∞) y*e^(-4y) dy=12*1/9*1/16=1/12。

Answer 2

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