Question

设4维列向量α1,α2,α3线性无关，且与4维非零列向量β1，β2均正交，证明β1,β2线性无关。

Answer 1

题目是错的，β1，β2应该线性相关：
α1,α2,α3线性无关
且与非零列向量β1，β2均正交（必然也线性无关）
则
向量组α1,α2,α3，β1线性无关
向量组α1,α2,α3，β2线性无关
且有向量组α1,α2,α3，β1，β2线性相关（5个4维列向量，必然线性相关，且秩<=4）
则β1，β2线性相关，否则向量组α1,α2,α3，β1，β2的秩等于5，矛盾！

Answer 2

假设β1可由α1，α2，α3，。。。α(n－1）线性表出，
记
β1=k1*α1+k2*α2+k3*α3+……+k(n-1)*α(n－1）
由于α1，α2，α3，。。。α(浮弧第旧郢搅电些钉氓n－1）与β1
正交
即αi点乘β1=0（i=1，……，n-1）
可推出ki=0（i=1，……，n-1）即β1=0与题设相矛盾，
则有α1，α2，α3，。。。α(n－1），β1线性无关
同理α1，α2，α3，。。。α(n－1），β2线性无关
由于n+1个n维向量必线性相关，以及上述两个结论，可得
β1，β2线性相关