Question

已知a，b，c分别为三角形ABC的三边，试判断代数式（a²+b²-c²）-4a²b²的符号

说明理由

Answer 1

（a²+b²-c²）²-4a²b²
=(a²+b²-c²+2ab)(a²+b²-c²-2ab)
=[(a+b)²-c²][(a-b)²-c²]
=(a+b-c)(a+b+c)(a-b+c)(a-b-c)

三角形两边之和大于第三边
a,b,c>0 ==>a+b+c>0
a+b>c ==>a+b-c>0
a+c>b ==> a-b+c>0
a<b+c ==> a-b-c<0
∴(a+b-c)(a+b+c)(a-b+c)(a-b-c)<0
∴（a²+b²-c²）²-4a²b²的符号为负

Answer 2

已知a，b，c分别为三角形ABC的三边，则
a²+b²-c²=2ab*cosC
（a²+b²-c²）²-4a²b²=4a²b²(cos²C-1)<0
代数式（a²+b²-c²）²-4a²b²的符号是负