Question

高中数列难题尤其第三问求放缩法解和推导解思路清晰明了谢谢

Answer 1

n≥2时，an²+a(n-1)²=2ana(n-1)+1
[an-a(n-1)]²=1
数列为递增数列，an≥a(n-1)
an-a(n-1)=1，为定值，又a1=1，数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列
an=1+1×(n-1)=n
b1=2a1=2×1=2
b2(a2-a1)=2b1 b2×(2-1)=2b1
b2=2b1b2/b1=2，公比为2
bn=2×2^(n-1)=2ⁿ
数列{an}的通项公式为an=n；数列{bn}的通项公式为bn=2ⁿ
anbn=n×2ⁿ
Sn=a1b1+a2b2+a3b3+anbn=1×2+2×2²+3×2³+...+n×2ⁿ
2Sn=1×2²+2×2³+...+(n-1)×2ⁿ+n×2^(n+1)
Sn-2Sn=-Sn=2+2²+...+2ⁿ-n×2^(n+1)
=2×(2ⁿ-1)/(2-1)-n×2^(n+1)
=(1-n)×2^(n+1) -2
Sn=(n-1)×2^(n+1) +2
(2n+5)/[bn×(2n+1)(2n+3)]=[2/(2n+1)-1/(2n+3)]/2ⁿ
=1/[(2n+1)·2^(n-1)] -1/[(2(n+1)+1)·2ⁿ]
Tn=1/[(2×1+1)×2^0]-1/[(2×2+1)×2]+1/[(2×2+1)×2]-1/[(2×3+1)×2²]+...+1/[(2n+1)×2^(n-1)]-1/[(2(n+1)+1)×2ⁿ]
=1/3 -1/[(2n+3)×2ⁿ]
1/[(2n+3)×2ⁿ]>0 1/3- 1/[(2n+3)×2ⁿ]<1/3
Tn<1/3

提示：本题不用放缩法，而是通过推导(2n+5)/[bn×(2n+1)(2n+3)]，发现求Tn时，中间各项都消掉了，最终证得结果。即用的是裂项相消法，如果按放缩法的思路解，就误入歧途了。因此不要强求用放缩法解。

追问

n是不是属于自然数？

回答后速度采纳

就是第三问那n∈Q？

Answer 2

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