Question

已知函数f(x)＝(x+1)lnx-x+1,若xf(x)≤x²+ax+1恒成立，求a的取值范围。

Answer 1

定义域有x>0
不等式为：
x(x+1)lnx-x²+x<=x²+ax+1
即a>=(x+1)lnx-2x+1-1/x 恒成立
令上式右边为g(x), 即a>=g(x)
现求g(x)的最大值
g'(x)=lnx+(x+1)/x-2+1/x²=lnx+1/x-1+1/x²
g"(x)=1/x-1/x²-2/x^3=1/x^3(x²-x-2)=(x-2)(x+1)/x^3
当x=2时，g'(x)取最小值，g'(2)=ln2+1/2-1+1/4=ln2-1/4>0
所以g'(x)>0恒成立
因此g(x)单调增
当x->+∞时，g(x)->+∞,
因此不存在这样的a.
是不是题目抄错了？

追问

题目错了应该是：已知函数f(x)＝(x+1)lnx-x+1,若xf＇(x)≤x²+ax+1恒成立，求a的取值范围。

追答

哦，怪不得：
定义域有x>0
f'(x)=lnx+(x+1)/x-1=lnx+1/x
不等式为：
xlnx+1=lnx-x 恒成立
令上式右边为g(x), 即a>=g(x)
现求g(x)的最大值
g'(x)=1/x-1=(1-x)/x
得极大值点x=1
g(1)=-1
所以有a>=-1