Question

设函数f(x)=2的X次方+2的X次方分之a再 —1(a为常数)

Answer 1

(1)
f(x)为奇函数=>
f(0)=0
=>
a-2/2^0+1=0
=>
a=1
(2)
如果已经学过导数，可以直接求一阶导：
df/dx=
-2*ln2*2^(-x)>0，故f(x)单调递增。
如果没学过导数，就直接用定义证明：
设x1>x2，f(x1)-f(x2)
=
-2/2^x1-(-2/2^x2)
=
2*(2^x1-2^x2)/2^(x1+x2)，因为x1>x2，并且f=2^x为增函数，因此2^x1-2^x2>0，从而f(x1)-f(x2)
=
2*(2^x1-2^x2)/2^(x1+x2)
>
0，所以f单调递增。
如果是做选择题，2^x是增函数（即随着x的增大而增大，且恒正），其倒数2^(-x)就是减函数（随着x的增大而减小，且恒正），再乘(-2)，增减性再次改变，变成增函数（想象函数图像，就是先以x轴为对称轴翻转——乘以负1增减性改变，然后沿纵轴方向拉伸为原来两倍）。加上常数a+1只是图像的纵向平移，不影响增减性。