Question

若∑是由平面x+y+z=1及三个坐标面围成的立体表面外侧,则曲面积分∫∫∫(x+1)dydz+ydzdx+dxdy=

Answer 1

若∑是由平面x+y+z=1及三个坐标面围成的立体表面外侧,则曲面积分∫∫∫(x+1)dydz+ydzdx+dxdy=1/8。

x->(0,1）

y->(0,1-x)

z->(0,1-x-y)

=>

∫∫∫(x+y+z)dv=∫(x:0,1)∫(y:0,1-x)∫(z:0,1-x-y)(x+y+z)dzdydx

=∫(x:0,1)∫(y:0,1-x)[(x+y)(1-x-y)+(1-x-y)^2/2]dydx

=1/2*∫(x:0,1)∫(y:0,1-x)[1-(x+y)^2]dydx

=1/2*∫(x:0,1)[1-x -1/3*(x+1-x)^3+1/3*x^3]dx

=1/6*∫(x:0,1)[2-3x+x^3]dx

=1/8

扩展资料：

曲面积分一般分成第一型曲面积分和第二型曲面积分。第一型曲面积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。第二型曲面积分物理意义来源对于给定的空间曲面和流体的流速，计算单位时间流经曲面的总流量。

第二型曲线积分与积分路径有关，第二型曲面积分同样依赖于曲面的取向，第二型曲面积分与曲面的侧有关，如果改变曲面的侧(即法向量从指向某一侧改变为指另一侧)，曲面积分需要改变符号。

Answer 2

用高斯公式计算即可，令P=x+1，Q=y，R=1，则P'x=1，Q‘y=1，R’z=0，所以原积分=∫∫∫(P'x+Q‘y+R’z)dxdydz=2∫∫∫dxdydz，根据三重积分的几何意义，∫∫∫dxdydz表示积分区域所构成立体的体积，本题中锥体体积=1/6，故原积分=1/3。