Question

二次函数y=ax²+bx+c的最大值为13 6 此题的第三问，请帮忙

二次函数y=ax²+bx+c的最大值为13 /6 ，其图象经过点A（0，-2），B（5，-2），点C在x轴上，∠ACB=90°，且CA＜CB，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C的对应点C′，落在X轴上，（1）求二次函数解析式（2）求点B的对应点B′的坐标，并判断是否落在二次函数图象上，（3）设AB′与X轴相交于点P，在二次函数的图象上是否存在点Q，使S△B′PQ=S△OAP，若存在，求点Q坐标，若不存在，写出理由

Answer 1

二次函数 y=-(2/3)x^2+(10/3)x-2 C点坐标（1,0） C'（-1,0） ,旋转角度α 有cosα=3/5 sinα=4/5
由旋转公式计算出 B'坐标（3,2） -(2/3)3^2+(10/3)3-2=-6+10-2=2 B’在抛物线上
AB’直线为y= (4/3)x-2 求得 P点坐标为（3/2,0) P为AB‘中点 有AP=B’P
若S△B′PQ=S△OAP 则Q到AB的距离=O到AB的距离=2 设Q点坐标为(q, -(2/3)q^2+(10/3)q-2 )
那么有Q到AB的距离=|（4/3）q +(2/3)q²-(10/3)q+2-2|/√[(4/3)²+(-1)²]=2
得|(2/3)q²-2q|=10/3 解得q=(3±√29)/2
q=(3+√29)/2 时纵坐标=（23-2√29）/3
q=(3-√29)/2 时纵坐标=（23+2√29）/3

求Q点与O点距离AB相等，也可直线方程来求，
如Q和O均在AB右侧，那么直线QO//AB 过QO的直线为y=(4/3)(x-5/2)-2=(4/3)(x-4)
带入抛物线方程求交点即可，
如Q和O在AB两侧，类似Q在直线为y=(4/3)(x+5/2)-2=(4/3)(x+1) ，但此直线和抛物线无交点。

追问

错了吧。。答案不是这个

这是正确答案

追答

应该是答案错了，带入答案中Q点坐标，它到直线AB的距离是6/5,和O到AB距离2不同。
估计是距离时它忘了分母了。

追问

谢谢了哈