Question

F是抛物线y^2=2px的焦点，AB是过F点的弦。

Answer 1

“不用极坐标”有如下两种解法： 解法一：几何解法： 由题意得：焦点F(p/2,0)； 准线x=-p/2 准线与x轴交点记为P 。过A,B分别向准线做垂线 垂足分别为C,D 过B向AC作垂线， 垂足为E BE与x轴交点记为Q 由抛物线的定义设 |FA|=|AC|=m， |FB|=|BD|=n,而 |PF|=p ∵ΔBQF∽ΔBEA ∴|QF|/|AE|=|FB|/||AB| 即：(p-n)/(m-n)=n/(n+m) p(m+n)=2mn p/2=mn/(m+n) 两边取倒数得：2/p=1/m+1/n 所以：1/FA+1/FB=2/p是一个定值。定值是2/p。 解法二：代数解法： 设A(x1,y1) B(x2,y2) 设直线y=k(x-p/2) 代入y^2=2px得 y^2=2p(y/k+p/2) 化简得：y^2-(2p/k)y-p^2=0 则y1*y2=-p^2 x1*x2=(y1^2/2p)*(y2^2/2p) =(y1y2/2p)^2 =p^2/4 由抛物线定义 1/FA+1/FB =1/(x1+p/2)+1/(x2+p/2) =(x1+x2+p)/[x1x2+p/2(x1+x2)+p^2/4] =(x1+x2+p)/[p/2(x1+x2+p)]=2/p即：1/FA+1/FB=2/p是一个定值。定值是2/p。