Question

立体几何题目

在三棱柱ABC-A1B1C1中，棱AC的中点为D 若平面ABC⊥平面ABB1A1, AA1=AB=根号2倍BC=根号2倍AC ，∠A1AB=60°,求二面角D-A1B-C1的余弦值

Answer 1

取AB中点E，连接A1E，CE

∵AA1=AB=√2BC=√2AC 

∴AC=BC

∠ACB=90°

∴CE⊥AB

∵面ABC⊥平面ABB1A1

面ABC∩平面ABB1A1=AB

∴CE⊥面ABB1A1

∵∠A1AB=60°，AA1=AB

∴△A1AB是等边三角形

∴A1E⊥AB

∴A1E,EB,CE三者互相垂直

建立以E为原点，如图所示的空间直角坐标系

设EB=1

则B(0,1,0),A1(0,0,√3)

D(1/2,-1/2,0),C1(1,1,√3)

向量A1B=(0,1,-√3)

向量BD=(1/2,-3/2,0)

向量BC1=(1,0,√3)

设向量a，b是面A1DB和面A1C1B的法向量

∴向量a*向量A1B=0           向量b*向量A1B=0

向量a*向量BD=0                向量b*向量BC1=0

不妨设向量a=(3√3,√3,1)

向量b=(-√3,√3,1)

cos<向量a,向量b>

=向量a*向量b/|向量a|*|向量b|

=(-9+3+1)/(√31*√7)

=-5/√217

=-5√217/217

∴

二面角D-A1B-C1的余弦值=5√217/217

感觉结果不是很准确，思路没问题

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Answer 2

简单。