Question

a*b=0是a=0或b=0的充要条件，对吗？

ab是向量

Answer 1

错误。

因为：

a*b=0 是 a=0或b=0 的充分条件：

当 a*b=0 成立时，a=0或b=0 未必成立。

a*b=0 是 a=0或b=0 的必要条件：

当 a=0或b=0 成立时，a*b=0 必然成立。

所以：a*b=0 是 a=0或b=0 的必要而不充分条件。

在数学中的使用

有命题p、q，如果p推出q且q推出p，则p是q的充分必要条件，简称充要条件。

p推出q，p是q的充分条件，同时q是p的必要条件，此时p是q的子集。

例如：a、b一正一负推出ab<0，ab<0推出a、b一正一负，则a、b一正一负和ab<0互为充要条件。

Answer 2

这个命题是错误的。

 

解析：

 

因为：

1. a*b=0 是 a=0或b=0 的充分条件：

       当 a*b=0 成立时，a=0或b=0 未必成立。

2. a*b=0 是 a=0或b=0 的必要条件：

       当 a=0或b=0 成立时，a*b=0 必然成立。

所以：

   a*b=0 是 a=0或b=0 的必要而不充分条件。

 

补充：

 

     向量A 乘 向量B = 0 ，有如下2种可能：
       (1) A和B中有零向量，那就是A=0向量 或 B=0向量
       (2) A和B中没有零向量，当向量A和B垂直时，向量A 乘 向量B=0
     也就是说，向量A 乘 向量B = 0 时，A和B可以都不是零向量，它们只需垂直即可满足条件。

追问

是缺少a=0且b=0吗？

追答

不是。当 向量a × 向量b = 0 时，a和b可能都不等于零。
换句话说，当 向量a × 向量b = 0 时，既不能保证 a=0或b=0 ，也不能保证 a=0且b=0。

（ 需要说明的是：1. 当 a=0或b=0 时，或者 2. 当 a=0且b=0 时，a × b =0 都成立）

Answer 3

解:向量a×向量b=|a||b|cos<a,b=0,则a=0或b=0,或cos<a,b>=0,推不出a=0或b=0,当a=0,或b=0时,则向量a×向量b=0,所以向量a×向量b=0是a=0,或b=0的必要不充分条件。

Answer 4

应该是必要条件