Question

已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1和f(x+1)-f(x)=2x 求f(x)

Answer 1

二次函数y=f(x)满足条件f(0)=1和f(x+1)-f(x)=2x
把x=0代入得
f(1)-f(0)=0
因此，二次函数的对称轴是x=1/2
设二次函数为：y=a(x-1/2)^2+C
f(0)=1得1=1/4a+C
f(x+1)-f(x)=2x
得a(x+1-1/2)^2-a(x-1/2)^2=2ax=2x
a=1,C=3/4
所以，二次函数为y=(x-1/2)^2+3/4

Answer 2

由f(0)=1
在f(x+1)-f(x)=2x
令x=0
得
f(1)=1

令x=1
得
f(2)=2+f(1)=3
由f（0）=f（1）
得函数图像关于
x=1/2
对称
所以设函数
f（x）=a（x-1/2）^2+b
带入f（0）和f（2）的值
求出
a=1
b=3/4
所以
f（x）=x^2-x+1