Question

椭圆问题急急急

Answer 1

(3√3/4)ab
知道直角坐标系的三个点的构成的三角形的面积的行列式表达吗？我假设你已经知道
解首先先容易知道，圆的内接三角形是面积最大时是等面三角形，因为此时三角形的重心和圆心重合。按照圆的方程为x^2
y^2=R^2(R>0).此时正三角形的面积为[(3*根号3)/4]*R平方
已知椭圆的方程为x^2/a^2
y^2/b^2=1(a>0,b>0)
则设椭圆上的点A(acosα,bsinα)B(acosβ,bsinβ)C(acosγ,bsinγ)
那么三角形ABC的面积为一个行列式，因为我这里无法打出行列式，请自己查询一下吧，现在设为S
另外以椭圆的长轴为半径的圆，三点在其上的垂直投影的交点为
A1(acosα,asinα)B1(acosβ,asinβ)C1(acosγ,asinγ)
这样三角形A1B1C1的面积设为S1
根据行列式的性质S=(b*S1)/a
由于已知S1的最大值为[(3*根号3)/4]*a平方
所以椭圆内接三角形的最大面积为[(3*根号3)/4]*a*b
下面我补充一下行列式的性质
在三角形ABC中，如果坐标是A(acosα,bsinα)B(acosβ,bsinβ)C(acosγ,bsinγ)
acosαbsinα1
则三角形ABC的面积=|acosβbsinβ1|
acosγbsinγ1
其中
acosαbsinα1
cosαsinα1
则三角形ABC的面积=|acosβbsinβ1|=ab|cosβsinβ1|
acosγbsinγ1
cosγsinγ1
因为只要行或者列有相同的因子都可以提出来
将这个圆投影到某一个平面上，使得投影为椭圆x/a
y/b=1，显然此时原正三角形的映射为椭圆内面积最大的三角形
圆面与平面的夹角余弦值为b/a，所以所求三角形的面积为{3√3a/4}*(b/a)=3√3ab/4