Question

一圆锥内有一内接圆柱，求该圆柱侧面积的最大值

Answer 1

楼主你好！很高兴为你解答。
你可以先设内接圆柱的底面半径为r，然后
r:r=(h-x):h；r=r(h-x)/h；
圆柱侧面积=圆柱底面周长*圆柱的高；
=2πrx
=2πr(h-x)x/h；
圆柱侧面积=2πr(h-x)x/h
=(2πr/h)[-(x²-hx)]
=(2πr/h)[-(x-h/2)²+h²/4]
=πrh/2-(2πr/h)(x-h/2)²
-(2πr/h)(x-h/2)²<=0,当x=h/2时,即(2πr/h)(x-h/2)²=0时,圆柱侧面积有最大值πrh/2.

Answer 2

轴截面如图。易得ΔVEF∽ΔVAB,所以EF/AB=VG/VO,这里EF为圆柱底面直径，AB为圆锥底面直径2R，VO=H,VG=H-x
所以EF/2R=(H-x)/H,由此得，EF＝2R(H-x)/H
所以圆柱侧面积＝〔2R(H-x)/H]*π*x
以下对上式化简，再利用二次函数求最大值。