Question

关于一道全微分的题

求函数z=x^2*y^3在点(2，-1）处，当△x=0.02,△y=-0.01时的全增量以及全微分的值。
答案写的分别是-0.20404，-0.20
但是我全增量算出来不是这个值
麻烦写下步骤
还有就是全增量和全微分的区别是什么？

Answer 1

二元函数z＝f(x，y)在P(x，y)点的增量Δz＝f(x＋Δx，y＋Δy)－f(x，y) 称为全增量
若Δz能表示为Δz＝AΔx＋BΔy＋o(ρ)，其中，A、B，是与Δx和Δy无关的常数，o（ρ）表示当ρ→0时比ρ高阶的无穷小量， 即o(ρ)趋于0的速度比ρ趋于0的速度要快，AΔx＋BΔy成为函数增量的主要部分，并且关于Δx、Δy是线性的，则说二元函数z＝f（x，y)在P点可微，称AΔx＋BΔy为函数的全微分。记为dz＝AΔx＋BΔy，因自变量的微分等于改变量，所以dz＝Adx＋Bdy。即A为x的偏导数，B为y的偏导数

所以全增量Δz＝f(2.02，-1.01)－f(2，-1)=2.02^2*(-1.01)^3-2^2*(-1)^3=-0.2040402004

全微分：z对x的偏导数为2xy^3，对y的偏导数3x^2*y^2
在点(2，-1）处，A=2*2*(-1)^3=-4,B=3*2^2*(-1)^2=12
所以dz=-4*0.02+12*（-0.01）=-0.20