Question

已知圆C的方程为(x+4)²+y²=16,直线l过圆心且垂直于x轴，其中G点在圆上，F点坐标为(-6

已知圆C的方程为(x+4)²+y²=16,直线l过圆心且垂直于x轴，其中G点在圆上，F点坐标为(-6,0)

(1)若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；
(2)在平面上是否存在定点P，使得对圆C上任意的点G有|GF|/|GP|=1/2？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）圆心坐标 (-4,0)，半径 r=4，圆与 y 轴相切；直线 l 的方程 x=-4；
T 点横坐标是 x=-4；FT 的中点 G 的坐标 x=(-4-6)/2=-5，y=±√[16-(x+4)²]=±√15；
FG 的方程为 y=[±√15/(-5+6)]*(x+6)=±√15*(x+6)；
圆心与直线 FG 的距离 d=|y±√15* (x+6)|/√[(√15)²+1²]=|0±√15* (-4+6)|/4=√15/2；
由弦心距 d 和半径 r 可求得弦长=2√(r²-d²)=2√[(4²-(√15/2)²]=7；
（2）因 F 和圆心都在 x 轴上，可假设 P 也在 x 轴上，设 P(p,0)；
按题意对任意点 G∈C，√[(x-p)²+y²]=2√[(x+6)√+y²]；化简得 (x-p)²-4(x+6)²=3y²；
再将圆关系（y²=16-(x+4)²）代入：(x-p)²-4(x+6)²=48-3(x+4)²，化简得 p=-12；故 P(-12,0)；