Question

三角函数的最值怎么求？详细解答……

Answer 1

一、函数法
对于形如y=af²(x)+bf(x)+c
(其中f(x)=sinx、cosx
或
tanx等)型的函数，可构造二次函数y=at²+bt+c利用在某一区间上求二次函数最值的方法求解。
求函数Y=cos²x+sinx在区间[-π/4,π/4]上的最值
解：令sinx=t

∵x∈[-π/4,π/4]

∴ t∈[-√2/2,√2/2]
∴y=cos²x+sinx=­­-sin²x+sinx+1=-t²+t+1=-2(t-1/2
)²+5/4
这是一个关于t
(t∈
[-√2/2,√2/2])
的二次函数，其图象是开口方向向下的抛物线的一部分
∴当t=1/2
即
x=π/6
时，
ymax=5/4
当t=-√2/2即
x=-π/4时，ymin=(1-√2)/2
二、数形结合法
对于形如
y=(a+bsinx)/(c+dcosx)
型的函数，往往可用数形结合法来求最值。
求函数y=(√3+sinx)/(1+cosx)的最小值
解：y=[sinx-(-√3)]/[cosx-(-1)]
根据函数表达式的几何意义可知是圆x²+y²=1上的任一点B与定点A(-1,-√3)的连线斜率
而显然可知当连线AB是圆的切线时，斜率最小，ymin=tan30°=√3/3
三、换元法
对于形如y=a(sinx±cosx)+bsinxcosx+c
型的函数，可采用换元法求解
求函数y=(1+sinx)(1+cosx)的值域
解：y=(1+sinx)(1+cosx)=1+sinx+cosx+sinxcosx
令t=sinx+cosx，则t∈[-√2,√2]，sinxcosx=(t²-1)/2
∴原函数y=1+t+(t²-1)/2=(t+1)²/2
∴当t∈[-√2,√2]时，函数的值域为[0,(3+2√2)/2]
四、放缩法
已知x∈(0，π/2)，求函数y=3^(cos²x)
+3^(sin²x)的最小值
解：有均值不等式a+b≥2√(ab)有：
y=3^(cos²x)
+3^(sin²x)≥2√[3^(cos²x)
*3^(sin²x)]=2√[3^(cos²x+(sin²x)=2√3
当且仅当3^(cos²x)=3^(sin²x)即x=π/4是取等号
∴函数的最小值为ymin=2√3
五、向量法
求函数f(x)=3sinxcosx-4cos²x的最大值。
解：∵f(x)=3sinxcosx-4cos²x=(3/2)sin2x-2cos2x
-2
设向量a=(-2，3/2)，向量b=(cos2x，sin2x)
而向量a·向量b≤|向量a|·|向量b|
∴-2cos2x
+(3/2)sin2x≤√[(-2)²+(3/2)²]*√(cos²2x+sin²2x)
=5/2
∴函数-2cos2x
+(3/2)sin2x
-2≤1/2
∴f(x)max=1/2
其实求三角函数和的最值的方式是不一而论的，对于每个人来说可能都有不尽相同的方式。
只要自己找到适合自己的解题方式就好，无需去想着别人的方法。