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=∫∫(x^2+4xy+4y^2)dxdy
因为xy是关于x的奇函数，同时，积分区间关y对称，所以
∫∫4xydxdy=0
因为积分区间为圆，所以由对称轮换式的性质
∫∫(x^2+4xy+4y^2)dxdy=∫∫(x^2+4x^2)dxdy=5∫∫x^2dxdy
使用极坐标，令x=rcosθ，y=rsinθ
则∫∫x^2dxdy=∫(0,2π）dθ∫(0,2)r^2(cosθ)^2*rdr
=∫(0,2π）(1+cos2θ)/2 dθ∫(0,2)r^3dr
=θ/2+1/4sin2θ|(0,2π）*1/4r^4|(0,2)
=4π
则原积分为：5*4π=20π
因为xy是关于x的奇函数，同时，积分区间关y对称，所以
∫∫4xydxdy=0
因为积分区间为圆，所以由对称轮换式的性质
∫∫(x^2+4xy+4y^2)dxdy=∫∫(x^2+4x^2)dxdy=5∫∫x^2dxdy
使用极坐标，令x=rcosθ，y=rsinθ
则∫∫x^2dxdy=∫(0,2π）dθ∫(0,2)r^2(cosθ)^2*rdr
=∫(0,2π）(1+cos2θ)/2 dθ∫(0,2)r^3dr
=θ/2+1/4sin2θ|(0,2π）*1/4r^4|(0,2)
=4π
则原积分为：5*4π=20π
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2024-12-15 广告
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