Question

求大神解答一道第二类曲面积分问题！！

计算对曲面∑积分 I=∫∫（x^3cosa+y^3cosb+z^3cosr)dS 其中∑是锥面 z^2=x^2+y^2在-1≤ z ≤0的部分，cosa,cosb,cosr是∑上任一点（x,y,z)的法向量的方向余弦切cosr<0.

我想利用投影法
F=z^2-x^2-y^2
F'x=-2x , F'y=-2y ,F'z=2z （z<0)
又cosr<0 所以法向量（-2x,-2y,2z)
I=∫∫(-2x^4-2y^4+2z^4)dxdy=4∫∫x^2y^2dxdy x=cost y=sint 解出来等于pi/2 答案错误。如果用高斯公式解出正确答案为-19pi/10 Dxy

Answer 1

这个题目这样解，
根据单位法向量n和曲面微元的关系，nds=(cosα，cosβ，cosγ)ds=(dydz, dzdx, dxdy)
所以cosαds=dydz，cosβds=dzdx，cosγds=dxdy
所以原积分=∫∫∑ x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy

然后补上z=-1的下平面处的圆∑1x^2+y^2=1得到，就可以用高斯定理了

所以，
原积分=∫∫∑+∑1 x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy -∫∫∑1 x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy
=∫∫∫3(x^2+y^2+z^2)dV -∫∫[-(-1)]dxdy
=3∫∫∫(r^2+z^2)rdrdθdz -π
=9π/10-π
= -π/10

如果那个9π/10是个负的，那么就是-19π/10
可是这是不可能的，因为积分函数x^2+y^2+z^2是个正数，所以积分不可能是负值。
这个答案有点问题吧