Question

已知：在三角形abc中，ad垂直bc于d，be垂直ac于e，ad与be交于h点

求证：ch垂直ab

Answer 1

过三角形的三个顶点作对边的平行线，得△A'B'C'，则A.B.C分别是三角形A‘B’C‘三边的中点，

易知△ABC的三条高恰好垂直平分△A'B'C'的三边，而三角形的三边的垂直平分线是相交于一点的(这个比较简单)，从而得到△ABC的三条高相交于一点

其他方法网上也有很多，稍微麻烦一点，有兴趣的可以去搜一下。

追问

可是不是问的是CH垂直AB么？

追答

垂心：三角形的三条高或其延长线相交于一点，这点称为三角形的垂心。

即两条高的交点与另一点的连线也是三角形的高，垂直于第三边
就是题目中所要证明的。
你可以上网搜三角形垂心交于一点的问题，
有更详细的证明方法。

追问

额，没看到有详细的，不然为什么还要特意还要来问不是浪费时间吗？，好，就是说这样写是没有问题的吧

追答

三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。
方法一：
证明：如图：作BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。
now现在我们只要证明AD⊥BC即可。
因为CF⊥AB，BE 所以 四边形BFEC为圆内接四边形。
四边形AFHE为圆内接四边形。
所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB
由∠FAH=∠FCB得
四边形AFDC为圆内接四边形 所以∠AFC=∠ADC=90° 即AD⊥BC。
点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。 [1

方法二：垂心:设ΔABC，三条高线为AD、BE、CF，AD与BE交于H，连接CF。HA=a，HB=b，HC=c。
因为AD⊥BC，BE⊥AC，
所以HA·BC=0，HB·CA=0， （这些字母代表向量）
即a·(c-b)=0，
b·(a-c)=0，
亦即
a·c-a·b=0
b·a-b·c=0
两式相加得
c·(a-b)=0
即HC·BA=0
故CH⊥AB，C、F、H共线，AD、BE、CF交于同一点H。