Question

证明：若(f(x)，g(x))=1，则，(f(x)g(x)，f(x)＋g(x))=1

Answer 1

证明：
(f(x),g(x))=1，则存在a(x)，b(x)使得af
+
bg
=
1；
假设t(x)=(g(x),h(x))，则存在c(x)，d(x)使得cg
+
dh
=
t
则t
=
cg
+
dh
*
1
=
cg
+
dh
*
(af
+
bg
)
=
cg
+
adfh
+
bdhg
=
(ad)fh
+
(c+
bdh)g
从而存在u(x)
=
a(x)d(x)，v(x)
=
c(x)
+
b(x)d(x)h(x)，
使得ufh
+
vg
=
t，而t|h，所以t|fh，t|g，
故t是fh和g的最大公因式。
从而(f(x)h(x),g(x))=(g(x),h(x))
得证。