Question

帮做一道数学题

Answer 1

该数是有理数。
证明如下:
由于111...1222...25=111...1222...200
25
(n-1个1)(n个2)
(n-1个1)(n-1个2)
=111...1222...2×100
25=(111...1222...2×4×25
25)
(n-1个1)(n-1个2)
(n-1个1)(n-1个2)
=(111...1222...2×4
1)×25
(n-1个1)(n-1个2)
由于25是平方数,因此只需证明(111...1222...2×4
1)是平方数即可。
(n-1个1)(n-1个2)
根据此数的特征,我们考察4n
1中,n为何值时4n
1是完全平方数。
令4n
1=k的平方,即4n
1=k×k,
则有4n=k×k-1
n=(k×k-1)/4
n=((k
1)(k-1))/4
这里k不能为偶数,如果k为偶数,k
1和k-1将为奇数,它们之积不能被偶数整除,即不能被4整除。
因此k只能为奇数。
令k=2f
1,则
n=((2f
1
1)(2f
1-1))/4=((2f
2)(2f))/4=f(f
1)
即n的值必须是两个连续整数之积。
由此可以得出:当n的值为两个连续整数之积时,4n
1是完全平方数。
故只需证明:(111...1222...2×4
1)是两个连续整数之积就可以了。
(n-1个1)(n-1个2)
而111...1222...2×4
1=111...1×1000...02
(n-1个1)(n-1个2)
(n-1个1)
(n-2个1)
=111...1×3×333...34
(n-1个1)
(n-2个3)
=333...3×333...34
(n-1个1)
(n-2个3)
因此有:f=333...3
(n-1个3)
所以k=2f
1=2×333...3
1
(n-1个3)
所以(111...1222...2×4
1)×25=(2×333...3
1)×(2×333...3
1)×25
(n-1个1)(n-1个2)
(n-1个3)
(n-1个3)
所以
原式=(2×333...3
1)×5
故原式为有理数。