求xy'=y+√(x^2-y^2)=0的通解的问题
如图,请问本题为什么需要针对x>0和x<0讨论?我看其他有些题并没有讨论,不讨论只假设x>0是否可以(求通解不一定需要包含所有解吧?)?什么时候应该讨论或可以不讨论?谢谢...
如图,请问本题为什么需要针对x>0和x<0讨论?我看其他有些题并没有讨论,不讨论只假设x>0是否可以(求通解不一定需要包含所有解吧?)?什么时候应该讨论或可以不讨论? 谢谢
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1个回答
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首先,通解是一定要包含所有的解的。
其次,这里之所以要分x>0和x<0进行讨论,其原因在于所作代换实际上是u=y/x.而之所以作这个代换,是作者看到了如下事实:
将原方程左右两边同时除以x后,右端就变成了关于变量y/x的函数。
但必须注意的是,在两边同时除以x时,要想将右端第一项化成√[1-(y/x)^2] ,就必须把原来处在根号外面的1/x写进根号内才行,而这一过程就导致在根号外面到底是取正号还是去负号的问题。
这就是为什么分x>0和x<0进行讨论的原因。
其次,这里之所以要分x>0和x<0进行讨论,其原因在于所作代换实际上是u=y/x.而之所以作这个代换,是作者看到了如下事实:
将原方程左右两边同时除以x后,右端就变成了关于变量y/x的函数。
但必须注意的是,在两边同时除以x时,要想将右端第一项化成√[1-(y/x)^2] ,就必须把原来处在根号外面的1/x写进根号内才行,而这一过程就导致在根号外面到底是取正号还是去负号的问题。
这就是为什么分x>0和x<0进行讨论的原因。
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