Question

解线性微分方程

Answer 1

关于线性微分方程的求解
线性微分方程的求解
1.1 线性方程
首先讲一下什么叫线性方程，含有变量的最高次幂不超过1次的方程，允许0次的存在 。
eg. ax+by+cz+d=0;
@线性方程的本质是等式两边乘以任何相同的非零数，方程的本质都不受影响。
(1) y’前的系数不能含y，但可以含x，如:x*y'=2 是线性的； y*y'=2 不是线性的。
(2) y前的系数也不能含y，但可以含x，如：y'=sin(x)y 是线性的，y'=sin(y)y 是非线性的。
(3) 整个方程中，只能出现y和y’，不能出现sin(y)，y^2，y^3等等，如：y'=y 是线性的；y'=y^2 是非线性的。就是关于y的复合函数。

1.2 微分方程
就带有自变量，未知函数和未知函数的导数的方程。比如y'=sinx , y"=y。
对于一阶微分方程，形如：y' + p(x)y + q(x) = 0的称为"一阶线性微分方程"。
对于二阶微分方程，形如：y'' + p(x)y '+ q(x)y + f(x) = 0的称为"二阶线性微分方程"。

1.3 齐次方程
1.方程中所有项的次数都相等。比如xy,x^2,y^2都是二次的。dy/dx、y/x和常数a都是0次的。比如y'=1+y/x.就是齐次方程。
2.形如 y" + p(x)y' + q(x)y = 0的方程称为“齐次线性方程”，这里“线性”是指方程中每一项关于未知函数y及其导数y’,y’’,…的次数都是相等的（都是一次），“齐次”是指方程中没有自由项（不包含y及其导数的项）.
方程 y" + p(x)y' + q(x)y = f(x)就不是“齐次”的，因为方程右边的项x不含y及y的导数，因而就要称为“非齐次线性方程”。

2 一阶线性齐次微分方程
y’ + p(x)y = 0
一阶微分dy/dx，线性y' + p(x)y = 0，齐次是方程不含自由项。
求解：
dy/dx = -p(x)y ;
dy/y = -p(x)dx ;
ln|y| = -∫p(x)dx + C ;
y=Ce^ -∫p(x)dx ;

3 一阶线性非齐次微分方程
dy/dx + p(x)y = q(x)
一阶微分dy/dx ,线性 y' + p(x)y - q(x) = 0，非齐次，含有不关于y的自由项。