Question

求通解高等数学第17题

Answer 1

求微分方程 dy/dx=y+sinx的通解
解：先求齐次方程 dy/dx=y的通解：
分离变量得：dy/y=dx；积分之得：lny=x+lnc；
故齐次方程的通解为：y=ce^x；
将c换成x的函数u得：y=ue^x...........①
将①的两边对x取导数得：dy/dx=(du/dx)e^x+ue^x...........②
将①②代入原式并化简得：(du/dx)e^x=sinx；
再次分离变量得：du=[(sinx)/e^x]dx；
积分之得：u=∫[(sinx)/e^x]dx=-∫(sinx)d[e^(-x)]=-[(sinx)e^(-x)+∫e^(-x)cosxdx]
=-(sinx)e^(-x)-∫cosxd[e^(-x)]=-(sinx)e^(-x)-[(cosx)e^(-x)+∫e^(-x)sinxdx]
=-(sinx)e^(-x)-(cosx)e^(-x)-∫e^(-x)sinxdx=-(sinx+cosx)e^(-x)-∫e^(-x)sinxdx
移项得：2∫[(sinx)/e^x]dx=-(sinx+cosx)e^(-x)+(2c)
故u=∫[(sinx)/e^x]dx=-(1/2)[sinx+cosx)e^(-x)+c;
代入①式即得原方程的通解为：y=-(1/2)(sinx+cosx)+ce^x；

Answer 2