Question

证明 √3+√2 是一个无理数

Answer 1

证明：假设√3+√2是一个有理数p,那么：

√3+√2=p

两边平方得到：

5＋2√6＝p^2

即√6=(p^2-5)/2p=q√6

平方得到：

p^2=6q^2

由于6是2的倍数,所以2整除p^2.又因为2是质数,所以2整除p.因此p^2是4的倍数.所以4整除6q^2,所以2整除q^2.因此2整除q.所以2就是p和q的公因数,与先前假设的p,q互质矛盾!

因此√6不是有理数,所以√3+√2 是一个无理数。

简介

无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环，也就是说它是无限不循环小数。 常见的无理数有大部分的平方根、π和e（其中后两者同时为超越数）等。

无理数的另一特征是无限的连分数表达式。传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现。他以几何方法证明无法用整数及分数表示。

而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数的存在。但是他始终无法证明不是无理数，后来希伯斯将无理数透露给外人——此知识外泄一事触犯学派章程——因而被处死，其罪名等同于“渎神”。

Answer 2

证明：假设√3+√2是一个有理数p,那么：
√3+√2=p.
两边平方得到：
5＋2√6＝p^2.
即√6=(p^2-5)/2
由于p是有理数,所以√6是有理数.但这是不可能的,再次使用反证法,假设√6是有理数p/q,（其中p,q互质且p,q都是正整数）,那么：
p=q√6.
平方得到：
p^2=6q^2.
由于6是2的倍数,所以2整除p^2.又因为2是质数,所以2整除p.因此p^2是4的倍数.所以4整除6q^2,所以2整除q^2.因此2整除q.所以2就是p和q的公因数,与先前假设的p,q互质矛盾!
因此√6不是有理数,所以√3+√2 是一个无理数.