Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2...

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最高点为M（π6，3）． （1）求f（x）的解析式； （2）先把函数y=f（x）的图象向左平移π6个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，试写出函数y=g（x）的解析式． （3）在（2）的条件下，若总存在x0∈[-π3，2π3]，使得不等式g（x0）+2≤log3m成立，求实数m的最小值．

Answer 1

解：（1）∵12T=π2，
∴T=2πω=π，解得ω=2；
又函数f（x）=Asin（2x+φ）图象上一个最高点为M（π6，3），
∴A=3，2×π6+φ=2kπ+π2（k∈Z），
∴φ=2kπ+π6（k∈Z），又0＜φ＜π2，
∴φ=π6，
∴f（x）=3sin（2x+π6）；
（2）把函数y=f（x）的图象向左平移π6个单位长度，得到f（x+π6）=3sin[2（x+π6）+π6]=3cos2x；
然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）=3cosx的图象，
即g（x）=3cosx；
（3）∵x0∈[-π3，2π3]，∴-12≤cosx0≤1，-32≤3cosx0≤3，
依题意知，log3m≥（-32）+2=12，
∴m≥3，即实数m的最小值为3．