Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,AO,BD都是△ABC的中线，交于点G，AE⊥BD于E,延长AE交BC于F

（1）求证：BG=AF（2）求证：∠ADB=∠CDF

Answer 1

∵AB=AC，∠BAC=90°，AO是BC边中线

∴根据等腰直角三角形底边的中线，高和顶角平分线三线合一：

∠ABG=∠DAG=∠C=45°(∠BAO=∠CAO=45°)

∵AE⊥BD，∠BAD=90°

那么∠BAE和 ∠ABG互余，∠CAF和∠BAE互余

∴∠ABG=∠CAF

∵AB=AC，∠ABG=∠C=45°

∴△ABG≌△CAF(ASA)

∴BG=AF，AG=CF

∵BD是中线，那么AD=CD

∠DAG=∠C=45°

AG=CF

∴△ADG≌△CDF(SAS)

∴∠ADG=∠CDF

即∠ADB=∠CDF

Answer 2

（将三角形ABC补成正方形ABWC，延长AF交WC于S），不必要但是易于观察。同角余角∠ABG=∠CAF，角边角三角形ABG全等CAF，则BG=AF得证。CF=AG，边角边ADG全等CDF，∠ADB=∠CDF得证。