Question

两个无理数之间至少有一个有理数怎么证明？

求求你们不要找多少位小数了可以吗？我构造一个数a，a的要求就是π的最后一位减-1，其他位全部一样的，a肯定是无理数。
1，（π-a）无限小的一个正数，不一定能找到比他小的数。
2，如果你找到了，我只能说你这个a不符合要求，还不够接近π。
3，如果你说一定能找到，是不是得有个前提：任意两个无理数之间是有距离的，如果有距离，不就应该是有理数吗？这个结论你已经在开始用了，还用证明吗？
4，任意两个有理数之间肯定有无理数，很好证明。可以设ab为有理数，a<b，
（根号2）/2*(b-a）必然是个无理数，且在ab之间。
任意无理数之间肯定存在有理数，目前全《百度知道》，没看到比较有说服力的证明。2020-7-3

Answer 1

你的思路不对啊！
证明成立需要过程，证明不成立只需要举反例就可以了。证明两个无理数之间至少有一个有理数，不可以举例证明的。
构造必须有普遍性，比如设a，b不能拿π这个具体数字说事。
无理数是无限不循环小数，没有最后一位，"π的最后一位减-1" 不成立。
反证法，假设两个无理数a和b，它们的之间没有有理数。不妨设a>b。a，b整数部分必定相同。如果不同的话，那么去掉a的小数部分，[a]为a的整数部分。则有 b<[a]<a, [a]是有理数，所以假设不成立。

如果a,b整数部分相同，从最高位开始，逐位比较两个数，总可以在某一个数位，这两个数在这个位上的数字不同。假设小数点后第n位数字不同，去掉a的小数点后n+1位后面的数，得到一个数d，有b<d<a, 而d是有限小数，是有理数，所以假设不成立
所以两个无理数之间至少有一个有理数。事实上有无数个有理数
望采纳。谢谢

Answer 2

先说，两个非常接近的无理数，举例是π，另外一个是π在小数点后第n位加上1，其他位上的数字不变。
这里n可以非常大，但它是有确定值的。我们可以从这个不同的数字这里截断，构造成一个新数，新数介于π与π+1之间，而且它是有理数。
注意：n有确定值！如果n是∞，则a与π相等！
你的证明中的几点问题：
（1）不要说π的最后一位，因为π没有最后一位。
（2）如果a-π是无限小，当n趋向无穷大时，a-π会趋近0，这时a与π相等，所以你无法找到一个介于两个相等的数之间的第三个数，不管有理数还是无理数。
（3）有距离，不一定是有理数。√3与√2有距离，但不仅它们都是无理数，它们的差（√3-√2）同样也是无理数。
（4）实际上，任意两个不相等的无理数之间，都存在无穷多个有理数。

Answer 3

前面所有的回答都存在一些bug，很多采用了文字叙述，使用了“总能找到”“从某一位开始”一类的语言。这从直观上是显然的，但是数学上不严谨。
这类问题可以通过构造一个数解决，而用无理数构造有理数往往要用到高斯取整函数。高斯取整函数是从整数部分截断，由于所有的实数整数部分都是有限大、有限位数的，所以规避了“在小数部分一直找总能找到，但我也不知道要找多久”的问题。

假设两个无理数为 a , b (不妨设0<a<b；对于ab正一负则取有理数为0；ab均负则均取绝对值，最后结果取相反数) ，如果 a,b 的整数部分不同（用数学语言表示就是 [a]<[b] ），那么这个有理数就可以取 [b] （b的整数部分），显然有 a < [b] < b

如果 a,b 的整数部分相同，那么我们就需要将他们扩倍，直到整数部分不同。扩大多少倍呢？取整数 n=[1/(b-a)]+1，有 nb-na = n(b-a) > 1，nb 与 na 的整数部分不同，显然有 na < [nb] < nb。同时除以 n ，得到 a < [nb]/n < b。 由于 [nb] 与 n 都是整数，该数必为有理数。

下面举两个例子 （1）e与e+1 (2) e与e+0.1
（1）两无理数整数部分不同，取 [e+1] = 3
（2）两无理数整数部分相同，取 n = [1/0.1]+1 = 11，有理数为 [n(e+0.1)]/n = 31/11 约为 2.8181818，可知在 e(2.7182818...) 与 e+0.1(2.8182818) 之间且为有理数。

使用构造求解的优势在于，直观可感，说服力强（这个具体的数就呈现在眼前，无法反驳）。同时，当下诸多实用性问题都由计算机解决，而计算机需要由人类编程，且要求这个程序足够准确、可执行、无歧义。计算机可没法像我们一样去直观感受这个问题（或者说，在可预见的未来，人类还不足以编写出赋予计算机人类的感知和直觉处理能力的程序），因此将答案变得具体、量化也是适应当下需求的。

Answer 4

”我构造一个数a，a的要求就是π的最后一位减-1，其他位全部一样的，”
你这样的a是构造不出来的，因为π是无理数，写成小数的形式时没有最后一位数的，因为有最后一位，它就是有理数了。
“”两个无理数之间至少有一个有理数“”这个结论是成立的。
你只需搜索：有理数在实数中的 稠密性。就会找到证明。有很多。
你思考的问题是数学中最基本也是最重要的问题。目前有比较成熟的理论。

Answer 5

我给你说个简单的方法：搜一下狄利克雷函数，易证他每一点都不连续，所以两个无理数之间一定有一个有理数，而两个有理数之间也一定有一个无理数。