Question

已知关于x的一元二次方程x2-2x-a2-a=0（a＞0）．（1）求证：这个方程...

已知关于x的一元二次方程x2-2x-a2-a=0（a＞0）． （1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2； （2）若对于a=1，2，3，…，2010，2011时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α1和β1，α2和β2，α3和β3，…，α2010和β2010，α2011和β2011，试求(1α1+1α2+1α3+…+1α2010+1α2011)+(1β1+1β2+1β3+…+1β2010+1β2011)的值．

Answer 1

（1）证明：设方程的两根是α1，β1，
则α1+β1=2，α1•β1=-a2-a，
∴（α1-2）（β1-2）
=α1β1-2（α1+β1）+4
=-a2-a-2×2+4
=-a2-a，
∵a＞0，
∴-a2-a＜0，
即这个方程的一根大于2，一根小于2．
（2）解：∵α1+β1=2，α1•β1=-a2-a=-a（a+1）
∵对于a=1，2，3，…，2010，2011时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α1和β1，α2和β2，α3和β3，…，α2010和β2010，α2011和β2011，
∴(1α1+1α2+1α3+…+1α2010+1α2011)+(1β1+1β2+1β3+…+1β2010+1β2011)
=1α1+1β1+1α2+1β2+1α3+1β3+…+1α2010+1β2010+1α2011+1β2011
=α1+β1α1β1+α2+β2α2β2+α3+β3α3β3+…+α2011+β2011α2011β2011
=2-1×2+2-2×3+2-3×4+…+2-2011×2012
=-2×（11×2+12×3+13×4+…+12011×2012）
=-2×（1-12+12-13+13-14+…+12011-12012）
=-2×（1-12012）
=-20111006．