Question

函数f(x)=x^m+n(m,n∈r)的导函数f

已知函数f(x)=x|x+m|+n，其中m，n∈R． (Ⅰ)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由； (Ⅱ)设n=-4，且f(x)<0对任意x∈[0，1]恒成立，求m的取值范围．____

Answer 1

【分析】 (Ⅰ)先对m、n的取值分m=n=0和m、n中至少有一个不为0两种情况讨论，再分别利用定义f(-x)和f(x)的关系判断奇偶性即可； \n(Ⅱ)当x∈(0，1]时，把不等式转化为 恒成立，再利用函数的单调性分别求出不等式两端函数值的范围，即可求出m的取值范围． (I)若m 2 +n 2 =0，即m=n=0，则f(x)=x*|x|， \n∴f(-x)=-f(x)．即f(x)为奇函数． \n若m 2 +n 2 ≠0，则m、n中至少有一个不为0， \n当m≠0．则f(-m)=n，f(m)=n+2m|m|，故f(-m)≠±f(m)． \n当n≠0时，f(0)=n≠0， \n∴f(x)不是奇函数，f(n)=n+|m+n|*n，f(-n)=n-|m-n|n，则f(n)≠f(-n)， \n∴f(x)不是偶函数． \n故f(x)既不是奇函数也不是偶函数． \n综上知：当m 2 +n 2 =0时，f(x)为奇函数； \n当m 2 +n 2 ≠0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数． \n(Ⅱ)若x=0时，m∈R，f(x)<0恒成立； \n若x∈(0，1]时，原不等式可变形为 ．即 ． \n∴只需对x∈(0，1]，满足 ， \n对①式， 在(0，1]上单调递减， \n∴m<f 1 (1)=3． \n对②式，设 . \n因为0<x<1， \n所以 ． \n∴f 2 (x)在(0，1]上单调递增， \n∴m>f 2 (1)=-5． \n综上所知：m的范围是(-5，3)． 【点评】 本题主要考查函数奇偶性以及恒成立问题和利用单调性求函数值域，考查分类讨论思想，是对知识点的综合考查，属于中档题目．