函数f(x)=x^m+n(m,n∈r)的导函数f
已知函数f(x)=x|x+m|+n,其中m,n∈R.(Ⅰ)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;(Ⅱ)设n=-4,且f(x)<0对任意x∈[0,1]恒成立,求m的取值范围...
已知函数f(x)=x|x+m|+n,其中m,n∈R. (Ⅰ)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由; (Ⅱ)设n=-4,且f(x)<0对任意x∈[0,1]恒成立,求m的取值范围.____
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【分析】 (Ⅰ)先对m、n的取值分m=n=0和m、n中至少有一个不为0两种情况讨论,再分别利用定义f(-x)和f(x)的关系判断奇偶性即可; \n(Ⅱ)当x∈(0,1]时,把不等式转化为 恒成立,再利用函数的单调性分别求出不等式两端函数值的范围,即可求出m的取值范围. (I)若m 2 +n 2 =0,即m=n=0,则f(x)=x*|x|, \n∴f(-x)=-f(x).即f(x)为奇函数. \n若m 2 +n 2 ≠0,则m、n中至少有一个不为0, \n当m≠0.则f(-m)=n,f(m)=n+2m|m|,故f(-m)≠±f(m). \n当n≠0时,f(0)=n≠0, \n∴f(x)不是奇函数,f(n)=n+|m+n|*n,f(-n)=n-|m-n|n,则f(n)≠f(-n), \n∴f(x)不是偶函数. \n故f(x)既不是奇函数也不是偶函数. \n综上知:当m 2 +n 2 =0时,f(x)为奇函数; \n当m 2 +n 2 ≠0时,f(x)既不是奇函数也不是偶函数. \n(Ⅱ)若x=0时,m∈R,f(x)<0恒成立; \n若x∈(0,1]时,原不等式可变形为 .即 . \n∴只需对x∈(0,1],满足 , \n对①式, 在(0,1]上单调递减, \n∴m<f 1 (1)=3. \n对②式,设 . \n因为0<x<1, \n所以 . \n∴f 2 (x)在(0,1]上单调递增, \n∴m>f 2 (1)=-5. \n综上所知:m的范围是(-5,3). 【点评】 本题主要考查函数奇偶性以及恒成立问题和利用单调性求函数值域,考查分类讨论思想,是对知识点的综合考查,属于中档题目.
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