Question

sinα+ √3cosα=–a, sinβ+√3cosβ=–a 相减得tan[(α+β)/2]=√3/3

怎么得的

Answer 1

sinα+√3cosα=2[(1/2)sinα+(√3/2)cosα]=2sin(α+π/3)
同理:sinβ+√3cosβ=2sin(β+π/3)
两式相减:2sin(α+π/3)-2sin(β+π/3)=2[sin(α+π/3)-sin(β+π/3)]=0
利用和差化积公式:
=2sin[(α+β)/2+π/3+(α-β)/2]-2sin[(α+β)/2+π/3-(α-β)/2]
=4cos[(α+β)/2+π/3]sin[(α-β)/2]
=0
当cos[(α+β)/2+π/3]=0时，等式恒成立
又∵cos[(α+β)/2+π/3]=cos[(α+β)/2]cos(π/3)-sin[(α+β)/2]sin(π/3)
∴cos[(α+β)/2]cos(π/3)=sin[(α+β)/2]sin(π/3)
∴tan[(α+β)/2]=√3/3