Question

跪求一道高中函数题，急急急

已知函数f(x)定义在(-1,1)上，对于任意的x,y∈(-1,1)，有f(x)+f(y)=f[(x+y)/(1+xy)],且当x＜0时，f(x)＞0 (1)验证函数f(x)=In[1-x/1+x]是否满足这些条件 (2)你发现这样的函数f(x)还具有什么样的性质?将它写出来，并加以证明 (3)若f(-0.5)=1，试解方程f(x)=-0.5

Answer 1

(1)由1-x/1+x>0
可得-1＜x＜1即其定义域为(-1，1)满足定义域条件
又f(X)+f(y)
=In[(1-x)/(1+x)]+In[(1-y)/(1+y)]
=In[(1-x)(1-y)/(1+x)(1+y)]
=ln[(1-x-y+xy)/(1+x+y+xy)](上下同时除以1+xy)
=ln{[1-(x+y)/(1+xy)]/[1+(x+y)/(1+xy)]}
=f[(x+y)/(1+xy)]
另外x<0的时候
1-x>1+x>0
所以(1-x)/(1+x)>1
ln[(1-x)/(1+x)]>0
故f(x)=In[1-x/1+x]满足这些条件
(2)f(0)+f(0)=f(0)
⇒f(0)=0
f(-x)+f(x)=f(0)=0
⇒f(-x)=-f(x)
f(x)在(-1，1)上是奇函数.
当-1＜x＜y＜1时，
(x-y)/(1-xy)<0
那么f[(x-y)/(1-xy)]>0
即f(x)-f(y)＞0
f(x)在(-1，1)上是减函数
综合以上f(X)是奇函数，并且是单调递减的
(3)根据题目
2f(X)=f(2X/(1+X²))
令2x/(1+X²)=-0.5
那么2f(x)=f(-0.5)=1
f(x)=1/2=0.5
2x/(1+X²)=-0.5
解之，得x=-2+√3(另外一个根部在定义域内舍去)
根据函数是奇函数
f(x)=-0.5的解就是2-√3