Question

若函数y=f(x)是奇函数，则:①y=|f(x)|的图象关于y轴对称;②若函数f...

若函数y=f(x)是奇函数，则: ①y=|f(x)|的图象关于y轴对称; ②若函数f(x)对任意x∈R满足f(x+2)=1-f(x)1+f(x)，则4是函数f(x)的一个周期; ③若logm3＜logn3＜0，则0＜m＜n＜1; ④若f(x)=e|x-a|在[1，+∞)上是增函数，则a≤1. 其中正确命题的序号是①②④①②④.

Answer 1

解答:解:①设函数g(x0=|f(x)|，
则g(-x)=|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|=g(x)，
∴函数g(x0=|f(x)|为偶函数，
∴函数g(x0=|f(x)|的图象关于y轴对称，
故①正确;
②∵函数f(x)对任意x∈R满足f(x+2)=
1-f(x)
1+f(x)
，
∴f(x+4)=f[(x+2)+2]
=
1-f(x+2)
1+f(x+2)
=
1-
1-f(x)
1+f(x)
1+
1-f(x)
1+f(x)
=f(x)，
∴f(x+4)=f(x)，
∴4是函数f(x)的一个周期，
故②正确;
③∵logm3＜logn3＜0，则
lg3
lgm
＜
lg3
lgn
＜0，
∴lgn＜lgm＜0，
∴0＜n＜m＜1，
故③错误;
④∵f(x)=e|x-a|在[1，+∞)上是增函数，
则函数y=|x-a|，在在[1，+∞)上是增函数，
∴a≤1，
故④正确;
故答案为:①②④.