Question

设向量a=（1+cosα，sinα),b=(1-cosβ，sinβ),c=(

设向量a=（1+cosα，sinα),b=(1-cosβ，sinβ),c=(2012,0),a∈（0，π），β∈(π，2π）a与c的夹为θ1，b与c的夹角为θ2，且θ1-θ2=π/6，求α和β向量a的绝对值乘b的绝对值=根号3

Answer 1

注：
以下等式中，sqrt(x)表示x的平方根
由条件知以下成立：
|a|.|b|
=
sqrt(3)
--
1
a.c
=
|a|.|c|.cos(θ1)
--
2
b.c
=
|b|.|c|.cos(θ2)
--
3
cos(θ1-θ2)
=
cosθ1.cosθ2+sinθ1.sinθ2
=
sqrt(3)/2
--
4
由2,3,4式知：
cosθ1.cosθ2
=
sinθ1.sinθ2
=
sqrt(3)/4
由上式可知θ1=π/3、θ2=π/6
根据2、3式及条件a∈（0，π），β∈(π，2π）可解：
α
=
π
-
π/3
β
=
π
+
π/3

Answer 2

是求sin[(α-β)/2]吧,若不是,我昨晚算了一晚都没算出来
解一下:(向量我用大写字母表示)设向量的起点都在原点
因为a∈（0，π），β∈(π，2π）
所以sina>0,sinβ<0,又1+cosα>0,1-cosβ>0,所以向量a在第一象限,向量b在第四象限
所以tanθ1=sinα/(1+cosα)
=2sin(α/2)cos(α/2)÷{1+[cos(α/2)]^2-[sin(α/2)]^2}
=2sin(α/2)cos(α/2)÷{2[cos(α/2)]^2}
=sin(α/2)/cos(α/2)
=tan(α/2)
tan(θ2)=-sinβ/(1-cosβ)
=-2sin(β/2)cos(β/2)÷{1-[cos(β/2)]^2+[sin(β/2)]^2}
=-2sin(β/2)cos(β/2)÷{2[sin(β/2)]^2}
=-cos(β/2)/sin(β/2)
=-cot(β/2)
又θ1-θ2=π/6,所以有tan(θ1-θ2)=tanπ/6=(√3)/3
而tan(θ1-θ2)=(tanθ1-tanθ2)/(1+tanθ1tanθ2)
={tan(α/2)-[-cot(β/2)]}/[1-tan(α/2)cot(β/2)]
=[sin(α/2)sin(β/2)+cos(β/2)cos(α/2)]/[sin(β/2)cos(α/2)-sin(α/2)cos(β/2)]
=cos[(α-β)/2]/sin[(β-α)/2]
=-cot[(α-β)/2]
所以cot[(α-β)/2]=-(√3)/3
cos[(α-β)/2]=-(√3)/3sin[(α-β)/2]
代入{cos[(α-β)/2]}^2+{sin[(α-β)/2]}^2=1
得:(4/3){sin[(α-β)/2]}^2=1
再由a∈（0，π），β∈(π，2π）得(α-β)/2∈(-π,0),所以sin[(α-β)/2]<0
于是sin[(α-β)/2]=-(√3)/2